SEMANA 3

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

• definicion
• formula
• ejercicios relacionados al tema
• video explicativo
• notacion
  

fx = ∂f/∂x

                    ∂/∂x[∂f/∂x] = ∂²f/∂x² = fxx = Dxx

                    ∂/∂y[∂f/∂x] = ∂²f/∂y∂x = fyx = Dyx

fy = ∂f/∂y

                    ∂/∂x[∂f/∂y] = ∂²f/∂x∂y = fxy = Dxy

                    ∂/∂y[∂f/∂y] = ∂²f/∂²f/∂y² = fyy = Dyy

Notación

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior
1ra Derivada

ECUACIÓN DIMENSIONAL DEL CALOR ECUACION ARMONICA

La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales parabólica que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una funcion de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t

• ejercicios demostrativos de derivacion superior
• condiciones para que una ecuacion deha armonica
• ejemplos de demostracion ecuacion armonica

DIFERENCIAL TOTAL Y PARCIAL

• definicion
• demostracion

 Se llama incremento total de una función en un punto a la diferenciadondey son incrementos arbitrarios de los argumentos.
Se llama diferencial total de la función a la siguiente expresión (si la función es diferenciable)(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún significado).
Una función se dice que es diferenciable en el punto si el siguiente límite existe y es cero.

• Condiciones necesarias de diferenciabilidad

Si la función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si la función es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales y en ese punto.

• ejercicios en clase 
• video demostrativo en clase

TEOREMA DE APROXIMACIÓN LINEAL

• definicion
• ejemplos practicos
• ejercicios en clase

REGLA DE LA CADENA

• definicion

En calculo, la regla de la cadena es una formula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe compocicion de funciones.

• demostracion mediante limite       

• ejemplos demostrativos
• video relacionado al tema
• ejercicios en clase

MÉTODOS PARA CALCULAR LA REGLA DE LA CADENA

• teoria

• Por Diferenciación

Las funciones dadas se las iguala a 0 y se procede a resolver un sistemas de ecuaciones de manera que permanezcan constante las variables dx y dy porque son las que necesitamos mantener; es decir despejamos las variables que no necesitamos dejándolas en base a dx y dy. Se procede a seguir la forma dz = (∂z/∂x).dx + (∂z/∂y).dy reemplazando con nuestras ecuaciones y llegando a obtener expresiones con multiplican a dx y dy, estas serán ∂z/∂x y ∂z/∂y.

• Por derivación implícita

Las funciones dadas deben ser igualadas a 0. A cada una de estas funciones se les derivará parcialmente con respecto a "x" y se procederá a resolver un sistemas de ecuaciones despejando ∂z/∂x. Consiguientemente se debe derivar de igual manera con respecto a "y", por medio de sistemas de ecuaciones encontramos a que es igual ∂z/∂y.

• Por jacobiano 

En este procedimiento nunca deben considerarse las variables independientes. Se procede a formar una determinante con las derivadas parciales de las funciones con respecto a las variables que no son independientes. Consecuentemente, aplicamos las formulas de ∂z/∂x y ∂z/∂y de manera que se obtengan las mismos resultados como en los dos anteriores procedimientos.

• Ejemplos con cada metodo
• ejercicos en clase

DERIVADA DIRECCIONAL

• definicion derivada direccional
• video explicativo compartido en blog del curso
• ejemplos mediante graficas
• ejercicos en clase

• Valor maximo, valor minimo, estado estacionario

definicon

ejercicios relacionados al tema

Ejemplos

• Maximos y minimos relativos

video explicativo al tema

Ejemplo demostrativo

• De dominio al recorrido (sacar puntos)

Maximo relativo
Minimo relativo
Ejemplo(analiticamente)

• Maximo y minimos absolutos

Puntos estacionarios
Puntos de frontera
Puntos vertices
Ejemplo

• Multiplicadores de Lagrange

Video acerca de Multiplicadores de Lagrange

Ejemplo

INTEGRAL MÚLTIPLE

• cambios de variable

En el cálculo de una dimensión, es frecuente que usemos un cambio de variables (o una sustitución) para simplificar una integral. Al cambiar los papeles de x y u, podemos escribir la regla de la sustitución como:

• INTEGRAL DOBLE

El concepto de integral doble

Consideramos una función continua f tal que

f(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f)

Deseamos hallar el volumen de la región sólida

comprendida entre la superficie z = f(x, y) y el plano XY.

Suponemos que la función f está definida sobre un

rectángulo cerrado

R = [a, b] × [c, d] = n

(x, y) ∈ R

2

/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

o

Tomamos una partición P de R en subrectángulos que

obtenemos realizando el producto cartesiano de una

partición de [a, b] por una de [c, d]:

a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b

c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · < yn = d

• INTEGRAL TRIPLE

•  definicion
• video explicativo
• ejercicios en clase

Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral triple que es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera variable:

Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R³, tal que D = {(x,y,z) Î R³ |a £ x £ b, c £ y £ d, e £ z £ f, entonces la integral triple de f sobre D, se define como:

• Aplicaciones de las Integrales Dobles

Área de una Figura Plana
Volumen de un Sólido en el Espacio
Masa de una Figura Plana
Momentos Estáticos de una Figura Plana
Centro de Masa de una Figura Plana
Momentos de Inercia de una Figura Plana

• Aplicaciones de las Integrales Triples

Volumen de un Sólido en el Espacio
Masa de un Sólido en el Espacio
Momentos Estáticos de un Sólido en el Espacio
Centro de Masa de un Sólido en el Espacio
Momentos de Inercia de un Sólido en el Espacio

• Eemplos integrales dobles y triples