SEMANA 1

                                             GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO


Función Implícita de dos variables

• Definicion de funcion implicita
• ejemplos

Función implícita de 3 variables

Ecuacion del plano

Generatriz de un plano
Ejemplos

Caso particular F(x,y) = 0 Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OZ
G(x,y) = 0 Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OY
H(x,y) = 0 Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OX

LA RECTA

 Ecuación vectorial de la recta
r=ro+ta

Ecuaciones paramétricas de la recta

X=Xo+tl
Y=Yo+tm
Z=Zo+tn

.

 Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(xo,yo) y Q(x1,y1) dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es

Esta ecuación recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. En la escena se explica cómo se obtiene.

DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA

En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

• Para una recta D definida por su ecuación reducida  y siendo A un punto de la forma 

Obsérvese que 

DISTANCIA ENTRE DOS RESTAS

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

EL PLANO

En geometria, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados.
 Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas
Dos rectas paralelas.
O dos rectas que se cortan.

El plano en R³ .  Ecuación vectorial.

   Dados tres puntos no alineados: , forman un plano, y cualquier punto P(x,y,z) de este plano podrá ser expresado en la forma:

  {5}

lo cual representa la ecuacion vectorial del plano.

 Ecuaciones paramétricas del plano.

   Si expresamos  {5} en coordenadas tenemos:

{6} 

  que son las ecuaciones paramétricas del plano.

 Ecuación cartesiana del plano.

Según hemos visto en el producto mixto de vectores, éste es nulo para el caso de tres vectores coplanares tales como   por tanto se tiene:

{7} 

una ecuación que se reduce a la simple expresión:

a x + b y + c z + d = 0      {8} 

 Un vector normal al plano

Es un vector "perpendicular" a cualquier recta del plano. Así, un plano viene determinado por un vector normal n (a, b, c) y un punto A.

Por ejemplo
 El plano cuyo vector normal es n (1, 3, -1) y que pasa por el punto A(2,0,5) es:

1. x + 3. y  + (-1) . z + d = 0

x + 3y - z + d = 0

y si ahora sustituimos el punto A(2,0,5):

2 + 3.0 - 5 + d = 0

de donde sacamos que d = -3. Por lo tanto, ese plano en coordenadas cartesianas es:

x + 3y - z - 3 = 0

Ecuación de la recta como intersección de dos planos

  Hasta ahora hemos visto la ecuación de una recta en coordenadas paramétricas y en cartesianas. Ahora vamos a ver también que dados dos planos que se intersectan definen una recta (tal como se aprecia en la figura de la derecha).

   Entonces una pareja de dos planos define una recta:

{9} 

 *  Haz de planos

  Dada una pareja de planos que se intersectan, tal como la  {9}, hay otros infinitos planos que también se intersectan en esta recta, a todos ellos se les denomina "haz de planos", su ecuación general es:

{10}